Elektroschwache
Vereinigung -
Der schwache Isospin T
Eine schöne Einführung der elektroschwachen Theorie lässt sich mit Hilfe des Isospinformalismus
zeigen. Wir erinnern uns an den
Isospin
I und seine z-Komponente I
3
bei der starken Wechselwirkung
.
Er diente der Zusammenfassung verschiedener
|
Hadronen
zu Gruppen, den sogenannten Isospin-
Multipletts. Die folgende Einführung eines "schwachen Isospins" mag zwar etwas willkürlich wirken, führt aber sehr elegant zum zentralen Zusammenhang
zwischen schwacher und elektromagnetischer Wechselwirkung.
|
|
Wir wissen, dass bei der schwachen Wechselwirkung der
Flavour
der beteiligten
Fermionen (Quarks und Leptonen) nicht erhalten bleiben muss, sondern sich vor allem innerhalb
einer
Generation ändern kann. Eine Flavouränderung innerhalb einer Generation ist dabei immer
mit dem Austausch eines geladenen schwachen Austauschteilchen (also
W
+
oder W
-
) verbunden. An die W-Bosonen koppeln allerdings nur linkshändige Fermionen (und rechtshändige Anifermionen), so dass auch nur diese innerhalb einer
|
Generation ihren Flavour ändern können
.
Wir führen nun willkürlich (aber analog zum Isospin bei Hadronen) eine neue Quantenzahl,
den
schwachen Isospin T
ein. Er dient
uns zur Einordnung der Fermionen in
elektroschwache
Multipletts
.
Der Einfachheit und Übersichtlichkeit halber betrachten wir nur die 1. Generation der Leptonen, also das Elektron e
-
und sein Neutrino
n
e
.
R bedeutet rechts- und L links
händig.
|
|
Beispiel: 1. Generation
der Leptonen
|
T
|
T
3
|
Q
|
Dublett:
|
n
e
(L)
e
-
(L)
|
1/2
|
+1/2
-1/2
|
0
-1
|
Singulett:
|
e
-
(R)
|
0
|
0
|
-1
|
Da linkshändige Fermionen bei einem schwachen Prozess (über einen W-Austausch) ineinander
umwandelbar sind, bilden das linkshändige
e
und
n
e
bezüglich des schwachen Isospins T ein
Dublett
und haben demnach T = 1/2 mit
|
den z-Komponenten T
3
= +1/2 für
n
e
und T
3
= -1/2 für
e
-
.
Die anderen Leptonen und Quarks lassen sich analog einordnen (siehe auch
).
|
|
Nun kommt
eine entscheidende Folgerung. Bei einem Prozess vom Typ
n
e
+ X
à
e
-
+ Y wird ein
W
-
ausgetauscht. Um dabei die Erhaltung von T
3
zu gewährleisten, muss dem
W
-
die z-Komponente T
3
(
W
-
)
= -1 zugeordnet werden, dem
W
+
entsprechend T
3
(
W
+
)
= +1. W
-
und W
+
scheinen offenbar zu einem
Triplett
(T = 1)
zu gehören. Uns fehlt dazu noch der dritte Zustand, nennen wir ihn
konsequenterweise
W
0
.
Er hat die
|
die z-Komponente
T
3
(W
0
)
= 0
und koppelt mit der gleichen
Stärke (schwache Ladung g) an die Fermionen. Damit haben wir ein Triplett des
schwachen Isospins gefunden. Es sei angemerkt, dass das
W
0
nicht mit dem
Z
0
identisch ist!
Man führt nun
zu dem Triplett einen
Singulett-Zustand
,
genannt
B
0
,
ein. B
0
und
W
0
koppeln an die Fermionen ohne dabei deren Flavour zu ändern. Wir fassen
zusammen:
|
|
Triplett (T = 1)
T
3
:
|
W
+
+1
|
W
0
0
|
W
-
-1
|
Singulett (T = 0)
T
3
:
|
|
B
0
0
|
|
Die Kopplungsstärke
des B
0
braucht nicht mit der der Triplett-Kandidaten übereinzustimmen. Wir
bezeichnen die zugehörige schwache
Ladung
daher mit g'.
Die Grundidee der
elektroschwachen Vereinigung ist, das Photon und das Z
0
|
als
Mischzustand
aus B
0
und
W
0
darzustellen. Bevor wir uns auf der nächsten
Seite mit der Mischung der Zustände von B
0
und
W
0
beschäftigen, folgt erst einmal eine kurze...
...(Zwischen-)
Zusammenfassung:
|
|
|
Linkshändige und rechtshändige Fermionen (Leptonen und Quarks) bilden durch Einführung eines schwachen Isospins T die Multipletts (Singulett und Dubletts) der
elektroschwachen Wechselwirkung.
|
|
Aufgrund der Erhaltung
der z-Komponente des schwachen Isospins (T
3
)
ordnet man auch
W
+
und W
-
einen
Wert für T
3
zu.
Man ergänzt
W
+
und W
-
mit W
0
zu einem Triplett und führt ein Singulett
(T = 0, T
3
= 0), das
B
0
ein.
|
|
Die "Vereinigung" von elektromagnetischer und schwacher Wechselwirkung ist im Prinzip die
Darstellung des Photons und des Z
0
als
Mischzustände
aus B
0
und
W
0
.
|
Zur Vorbereitung auf die Betrachtung von Mischzuständen ist die Auseinandersetzung mit flavourändernden Prozessen und dem Cabibbo-Winkel sinnvoll. Man
findet hier mehr dazu:
.
|