Das Entscheidende an dieser Gleichung ist, dass ihre
Lösungen
Y
(x)
die Energie-Eigenzustände beschreiben!
Man hat also die Möglichkeit, nur aus Kenntnis von
Randbedingungen (z.B. Potenzialverlauf,
Normierung etc.) die
Wellenfunktion
Y
(x)
, die einen Zustand beschreibt, zu berechnen.
Ein bekanntes
Beispiel
dazu ist das
Wasserstoffatom, bei dem sich das Elektron im Bereich des anziehenden
Coulomb-Potenzials des positiven Kerns (Proton) befindet. Die stationäre Schrödingergleichung lautet dazu wie oben dargestellt, lediglich bei der potenziellen Energie
V muss - dem Problem entsprechend - das
Coulomb-Potenzial
U(r) verwendet werden.
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Mit der Lösung der Schrödingergleichung lassen sich für das Elektron die
Energiestufen und die Wellenfunktionen der einzelnen stationären Zustände berechnen. Man erhält genau die
Bohrschen Energiestufen. Das bestätigt zwar Bohr, zeigt aber auch, dass die Schrödingergleichung ein weitaus besseres "Werkzeug" zur Berechnung solcher Energiestufen darstellt, als es alle anderen Ansätze vorher waren! Grundsätzlich kann die Schrödinger- gleichung auf
alle Atome angewandt werden, Einschränkungen kommen erst dadurch zu Stande, dass die Gleichung für komplexere Probleme immer schwieriger zu lösen ist. Ihre Gültigkeit behält sie aber!
(siehe dazu auch
)
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