Grundlagen der QM - Operatoren und Erwartungswerte Wir haben bei der Besprechung der Wahrscheinlichkeitsdichte erkannt, dass man im mikroskopischen Bereich nicht mehr davon sprechen kann, dass sich ein Teilchen an einem festen Ort befindet, sondern "nur" aussagen kann, dass es mit der Wahrscheinlichkeit | Y | 2 dV im Volumen dV zu finden ist. Integriert man über den ganzen Raum ( V ¥ ) so erhält man als Wahrscheinlichkeit 1. Es gilt (Normierung):  ò | Y | 2 dV ¥ = 1  Da Y komplex ist, gilt | Y | 2 = Y * . Y , wobei Y * die konjugiert komplexe Wellenfunktion ist. Wir können für das Integral daher genauso schreiben: ò ( Y * . Y ) dV ¥ = 1 Neben der Angabe der Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens für ein Volumen, kann man aber auch den Erwartungswert <x> (oder Mittelwert ) für dessen Aufenthaltsort berechnen. Der Orts-Erwartungswert <x> lautet:  <x> = ò ( Y * .  . Y ) dV ¥ Analog zum Ort <x> gibt es auch noch die Erwartungswerte des Impulses <p>, der Energie <E> und des Drehimpulses <l>. Zur Unterscheidung von klassischen Größen (x, p, l, E), verwendet man für die Erwartungswerte die Schreibweise mit "spitzen" Klammern (<...>). <p> = ò ( Y * .  . Y ) dV ¥ <E> = ò ( Y * .  . Y ) dV ¥ <l> = ò ( Y * .  . Y ) dV ¥ Wie man erkennt, unterscheiden sich die Integrale lediglich durch sogenannte Operatoren ( , ,   ,   ), die als dritter Faktor zwischen das Produkt aus Y * und Y geschrieben werden. Die Reihenfolge der drei Größen darf nicht vertauscht werden! Operatoren sind nicht identisch mit den klassischen Größen x, p, E, oder l! Sie werden deshalb mit einem "Dach" gekennzeichnet. Sie sind Rechenvorschriften, die auf Y angewendet werden. "Anwenden" kann dabei im einfachsten Fall - beim Ortsoperator - der gleich der Orts-Koordinate ist ( = x), Multiplizieren heißen.  Es kann aber auch - wie beim Impulsoperator ( = - ih/2 p d/dx) - bedeuten, dass zuerst nach x abgeleitet (d Y /dx) und dann mit (- ih/2 p ) multipliziert wird.  Der Operator der Gesamtenergie (kinetische und potenzielle Energie) heißt Hamiltonoperator . Es gilt hierbei: = - h 2 /(2 p ) 2 2m . d 2 /dx 2 + V(x) V(x) bezeichnet die potenzielle Energie, z.B. einer Ladung im Coulomb-Potenzial . An die Stelle der klassischen Größen Ort x, Impuls p, Energie E und Drehimpuls l treten in der Quantenmechanik die Operatoren ,   ,   und  (sprich: "x-Dach"). Sie sind Rechenvorschriften und werden - bei der Berechnung der Erwartungs- werte mit obigen Integralen - auf Y angewandt. Operatoren treten aber auch im Zusammenhang mit Eigenfunktionen und Eigenwerten auf. So löst jede Eigenfunktion folgende Eigenwertgleichung : Operator (angewandt auf) Eigenfunktion = Eigenwert . Eigenfunktion Ein Operator erlaubt es zu überprüfen, ob und wann man einem Quantenobjekt eine bestimmte Eigenschaft zuschreiben kann. Ist die Eigenwertgleichung z.B. bei Anwendung des Hamiltonoperators erfüllt, besitzt das Quantenobjekt die Eigenschaft "Gesamtenergie". Anm.: Die links stehende Interpretation folgt der in Ist z.B. die Gleichung  Y = E Y  erfüllt, dann ist Y eine Eigenfunktion zum Energieeigenwert E. Diese scheinbar so einfache Gleichung ist von zentraler Bedeutung in der Quantenmechanik, da sie die Berechnung von Eigenfunktionen und Eigenwerten erlaubt. Die berechneten Eigenwerte können experimentell überprüft werden, da sie den Messwerten der Experimente entsprechen. So entsprechen die experimentell bestimmten Energiestufen des Wasserstoffatoms den berechneten Energieeigenwerten der Quantenmechanik. Sollten die Werte nicht übereinstimmen, so muss der Operator dahingehend verändert werden, dass er eventuelle physikalische "Nebeneffekte" wie z.B. noch unbeachtete Wechselwirkungen berücksichtigt.