Grundlagen
der QM -
Die Wahrscheinlichkeitsdichte |
Y
(x,
t)|
2
Entscheidend für die Interpretation der Wellenfunktion
Y
(x,
t) ist
die
Wahrscheinlichkeitsdichte
oder Wahrscheinlichkeitsverteilung
|
Y
(x,
t)|
2
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Was kann man sich unter einer Funktion, die die Wahrscheinlichkeitsdichte eines quantenmechanischen Zustands in Abhängigkeit von Ort x und Zeit t
angibt, vorstellen?
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Dazu betrachten wir am besten folgendes "eindimensionale
Beispiel
":
Stellen wir uns eine beliebige Ortsachse vor, z.B. die x-Achse. Auf ein Stück der x-Achse zwischen den Werten A und B (mit A < B) prasseln - völlig gleichverteilt
-
rote Farbtropfen
nieder, so dass dieses
Stück schon ganz
rot
gefärbt ist.
Wir suchen eine Funktion,
die uns folgende Frage "beantwortet":
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"Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft der nächste Tropfen einen Punkt
irgendeines
Intervalls [x
1
;
x
2
] auf der x-Achse?"
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Wir können uns ganz
sicher sein, dass Folgendes gilt:
a)
Wenn x
1
= -
¥
und
x
2
= +
¥
ist,
muss die Antwort "1" lauten, denn zwischen
-
¥
und
+
¥
trifft
der nächste Tropfen
ganz sicher
.
b)
Wenn man x
1
= A und
für x
2
genau die Mitte zwischen A und B wählt, muss die Antwort 1/2 lauten, denn
in die Hälfte der roten Strecke wird der Tropfen
mit
der Wahrscheinlichkeit 1/2
treffen.
Die
allgemeine Lösung des Problems kann mit folgender Funktion F bestimmt werden
F(x) = 1/(B - A)
für x
Î
[A; B] und
F(x) = 0
für x
Ï
[A; B]
wobei (B - A) die
Länge der roten Strecke ist (siehe Abb.).
Die Funktion F ist so gewählt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der nächste Tropfen in das Intervall [x
1
;
x
2
]
|
trifft, der
Flächeninhalt
zwischen dem Graphen von F (
blau
in Abb. rechts) und dem
Intervall [x
1
;
x
2
] auf der x-Achse ist. Der Flächeninhalt über einem Intervall auf der x-Achse ist hier sehr einfach zu berechnen, da es sich immer um ein
Rechteck handelt. Der
gesamte
Flächeninhalt (
grün
schraffiert) hat den Wert 1, denn 1/(B - A)
.
(B - A) = 1.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte
|
Y
(x,
t)|
2
ist nun nichts anderes als die Funktion F:
|
Y
(x,
t)|
2
= F(x, t)
Da in unserem Beispiel die Funktion F unabhängig von der Zeit t war, konnten wir an Stelle
von F(x, t) kurz F(x) schreiben.
In der QM verwendet
man für die Wahrscheinlichkeitsdichte den Buchstaben
r
.
Man scheibt:
r
(x,
t) = |
Y
(x,
t)|
2
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Wir haben in unserem Beispiel neben der Zeitunabhängigkeit noch zwei vereinfachende
Voraussetzungen gemacht, die normalerweise nicht gelten.
1.
Der Flächeninhalt unter dem Graphen der Wahrscheinlichkeitsdichte
(
G
r
) ist höchst selten so einfach zu berechnen wie im Fall
unseres Rechtecks. Normalerweise ist
|
Y
(x,
t)|
2
keine so leicht veranschaulichbare Funktion, so dass
man zur Bestimmung des Flächeninhalts (Abb. rechts,
grün
schraffiert) das
Integral
von x
1
nach x
2
berechnen muss. Diese Berechnung kann ausgesprochen schwierig sein.
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2.
Unser Beispiel ist ein eindimensionales Problem, üblicherweise sind alle
drei Raumrichtungen zu betrachten. Das ist
nicht weiter schlimm, denn das Prinzip der Berechnung bleibt gleich.
r
(x,
t)
=
|
Y
(x,
t)|
2
ist
nun eine
Funktion in drei Dimensionen
, wobei x zum dreidimensionalen Ortsvektor (x, y, z) wird. Das Integral zur Berechnung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit muss nun über drei Raumrichtungen
(
ò
dx
dy dz), also ein Volumen (
ò
dV),
berechnet werden.
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Ein typisches Beispiel ist die Wahrscheinlichkeitsdichte verschiedener
Anregungsstufen des
Wasserstoffatoms
. Die Abbildung rechts zeigt einen Schnitt durch die dreidimensionale Darstellung dieser "Dichte-Funktion". Verschiedene Farben entsprechen dabei den verschieden
großen Aufenthalts-
|
wahrscheinlichkeiten des Elektrons in den Teilgebieten. Außerhalb der "Keulen" ist das Elektron nur "sehr selten" anzutreffen.
In der
Chemie
nennt man diese Darstellung
ein Wasserstoff-
Orbital
-Modell.
Wir können zusammenfassen:
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|
Der
quantenmechanische Zustand eines Teilchens wird durch die Wellenfunktion
Y
(x,
t) beschrieben. Die Wahrscheinlichkeitsdichte |
Y
(x,
t)|
2
ist |
die Funktion, deren Integral über ein Volumen V die Aufenthaltswahr- scheinlichkeit dafür ist, dass sich das Teilchen zum Zeitpunkt t in V aufhält. |
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Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Teilchen des quantenmechanischen Zustands
Y
(x,
t)
im Volumen V aufhält ist:
ò
|
Y
(x,
t)|
2
dV
Das Integral über den ganzen Raum |
(V
¥
) hat immer den Wert 1, denn die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen "irgendwo"
ist, ist 1.
Man schreibt dafür kurz:
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|
ò
|
Y
(x,
t)|
2
dV
¥
= 1
Diese allgemeingültige Aussage nennt man
Normierung
.
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