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mechan. und relativistische Grundlagen - Die geschwindigkeitsabhängige Masse  

An zwei Metallplatten liegt eine (Beschleunigungs-) Spannung U an. Dadurch herrscht zwischen den Platten ein elektrisches Feld. Welche Geschwindigkeit besitzt ein anfangs ruhendes Elektron, das in        diesem Feld beschleunigt wird? 
Klassisch gilt für die kinetische Energie Ekin = ½mv2. Dem Elektron wird die elektrische Energie Eel =  eU zugeführt, so dass Ekin = Eel und ½mv2 = eU gilt. Man kann diese Gleichung nach der   Geschwindigkeit v auflösen und damit die Geschwindigkeit der Elektronen nach dem Durchlaufen der Beschleunigungsspannung U berechnen.  
Beispiel:
Ein Elektron (m = 511 keV/c2) durchläuft eine Beschleunigungs- spannung von U = 5 MV. Eingesetzt in ½mv2 = eU und aufgelöst nach v erhält man: v » 4,4.c  
Das Elektron müsste also die 4,4-fache Lichtgeschwindigkeit besitzen.  
Experimente ergeben bei diesen Parametern aber eine Geschwindigkeit von "nur" 0,9957.c. Die Antwort auf 		diesen scheinbaren Widerspruch gibt die spezielle Relativitätstheorie
Die Vakuumlichtgeschwindigkeit c ist die obere Grenzgeschwindigkeit für die Bewegung materieller Körper.
c = 299792500 ms-1 » 3.108 ms-1.
Ein Messgerät, das die Licht- geschwindigkeit misst, stellt immer den Wert c fest, egal ob sich die Lichtquelle auf es zu oder von ihm weg bewegt! 
1. Folgerung: 
Unsere Annahme ½mv2 = eU muss falsch sein. Da das Elektron aber tatsächlich die elektrische Energie eU aufgenommen hat, muss seine kinetische Energie Ekin = eU sein. Das bedeutet aber:
Für sehr schnelle Elektronen (und alle anderen sehr schnellen Körper) gilt Ekin = ½mv2 nicht mehr! Hingegen gilt immer: Ekin = eU
Aufgenommene Energie kann nicht in eine beliebig hohe Geschwindigkeit umgewandelt werden, wie man es nach der klassischen Mechanik erwarten würde! Bei der Beschleunigung eines Elektrons stellt ein ruhender Beobachter fest, dass sich das schnell bewegende Elektron so verhält, als hätte es eine höhere Masse. Für ihn sieht es aus, als ob das Elektron die zugeführte Energie in Form einer Massenzunahme speichert. In diesem Zusammenhang spricht man auch von der relativistischen Massenzunahme 
Es ist daher wichtig, den Begriff "Masse" des Elektrons richtig zu verwenden.  		2. Folgerung:

Wir müssen zwischen einer Masse in Ruhe (genannt Ruhemasse m0) und der bewegten Masse m(v) unterscheiden. Der Einfachheit halber bezeichnet m ab sofort die geschwindigkeitsabhängige oder relativistische Masse m(v) = m. 
In der Einsteinschen Formel E = mc2 bezeichnet m die relativistische Masse, nicht die Ruhemasse m0! 
Die Größe E0 = m0c2 bezeichnet man als Ruheenergie. 
Die Ruheenergie ist eine charakteristische Eigenschaft von Teilchen, die - egal wie schnell sie sich bewegen - gleich bleibt (solange sie nicht vernichtet werden)! 
Wichtiger Hinweis:
Die Energie der Teilchen in modernen Teilchenbeschleunigern ist heute so groß, dass die Geschwindigkeit der Teilchen (annähernd) v = c ist. Bei HERA (DESY) besitzen z.B. die Elektronen eine Energie von 27 GeV. Ihre Geschwindigkeit ist daher mit v = 0,9999999998.c im Prinzip gleich der Lichtgeschwindigkeit c.
Die "Massenzunahme" der Elektronen ist hier irrelevant, da sie die Ruhemasse schon längst um ein Vielfaches (hier mehr als das 50000-fache)
übersteigt. Für die Teilchenphysiker sind daher nur zwei Größen wichtig. Zum einen die Energie der Teilchen (hier 27 GeV) und zum anderen deren Ruhemasse m0. Mit Masse bezeichnen die Teilchenphysiker daher immer die Ruhemasse m0 eines Teilchens. In ihrem Sprachgebrauch "wird bei der Beschleunigung des Teilchens einfach die Energie erhöht". Den Begriff "relativistische Masse" verwenden sie üblicherweise nicht. 
Wir wollen trotzdem kurz betrachten, wie sehr die relativistische Masse eines Teilchens von seiner Geschwindigkeit abhängt. Dies kann man mit folgender Online-Berechnung ausprobieren. Nach der Auswahl der Teilchenart und Eingabe einer Beschleunigungsspannung werden auf "Knopfdruck" die relativistische Masse und die Geschwindigkeit berechnet.  
Als Beispiele für beschleunigte Elektronen seien genannt: 

Der Franck-Hertz-Versuch, bei dem Elektronen eine Spannung von 0 bis ca. 20 V durchlaufen. 
Eine Fernsehbildröhre mit einer Beschleunigungsspannung von ca. 25 kV 
Der Beschleuniger von HERA bei DESY mit 30 000 000 kV 
Zum direkten Vergleich kann man auch die entsprechenden Größen für Protonen und Antiprotonen berechnen lassen.  
Online-Berechnung
Welche Teilchen werden beschleunigt? 
 

Elektronen/Positronen (m0 = 511 keV/c²)   
Protonen/Antiprotonen (m0 = 938000 keV/c²) 

Wie groß ist die Beschleunigungsspannung? (in kV):  kV 
 
Die Geschwindigkeit der  beträgt  % der Lichtgeschwindigkeit c.  
Die relativistische Masse der  beträgt das -fache ihrer Ruhemasse. 
 
Bei welchen Beschleunigungsspannungen (ca.) beträgt die Masse der Elektronen und Protonen bereits das 1,01-fache ihrer Ruhemasse (1% Zunahme)? Welche Masse haben beschleunigte Elektronen in einer Fernsehbildröhre? Benutze die Online-Berechnung.
Welche genauen Zusammenhänge zwischen Masse, Geschwindigkeit, Energie und dem Impuls eines Körpers herrschen, besprechen wir auf den nächsten Seiten. 
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